Pembahasan Soal Matematika TO 2015 #6

Pertanyaan

Akar-akar persamaan kuadrat $x^2 + (a-1)x +2 = 0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Jika $\alpha = 2\beta$ dan $a\gt0$, maka nilai $a$ adalah ....

  • a) 2
  • b) 3
  • c) 4
  • d) 6
  • e) 8

Jawaban dan Pembahasan

Untuk menjawab pertanyaan di atas kita tidak perlu mencari akar-akar persamaan kuadrat, kita hanya perlu menggunakan sifat-sifat akar persamaan kuadrat. Saya tuliskan kembali sifat-sifat akar persamaan kuadrat sbb:

Jika akar-akar persamaan kuadrat  $ax^2 + bx + c = 0$ adalah $x_1$ dan $x_2$, maka berlaku:

$x_1 + x_2 = - \frac ba$ dan $x_1 \times x_2 =  \frac ca$

Memasukkan sifat-sifat ini ke dalam pertanyaan di atas maka diperoleh

$\alpha + \beta = - \frac { (a-1)} {1} $ atau karena $\alpha = 2 \beta$ maka persamaan tersebut menjadi $2\beta + \beta = -(a-1)$ atau $3\beta = 1-a$ atau $a = 1 -3\beta$

dari sifat kedua kita peroleh

$\alpha \times \beta = \frac 21$. Dengan menubsitusi nilai  $\alpha = 2\beta$ maka persamaan tersebut menjadi $2\beta \times \beta = 2$

atau $2\beta^2 = 2$ sehingga $\beta^2 = 1$

Nilai $\beta$ yang mungkin adalah 1 atau -1,

Sehingga nilai $a = 1 - 3\beta$ untung masing-masing nilai $\beta$ adalah 1-3 = -2 dan 1+3 = 4.

tetapi karena ada batasan bahwa $a \gt 0$ maka nilai $a$ yang sesuai adalah = 4

Jawab C